---
title: "勒贝格积分：为什么比黎曼积分更强大？"
date: 2026-08-10
tags: [勒贝格积分, 测度论, 黎曼积分, 实分析, 控制收敛定理]
---

# 勒贝格积分：分割值域的革命

## 核心思想
黎曼分割定义域(x轴), 勒贝格分割值域(y轴):
∫f ≈ Σ y_k · μ({y_k ≤ f < y_{k+1}})

## 为什么更强
1. 狄利克雷函数黎曼不可积, 勒贝格可积 (=0)
2. 控制收敛定理: 极限与积分可交换
3. 期望 = 勒贝格积分 (概率论基础)

## 四大定理
- 单调收敛 (MCT)
- 法图引理 (Fatou)
- 控制收敛 (DCT)
- Fubini 重积分

> 关键词: 勒贝格积分 测度论 实分析 控制收敛